4. La trasformata di Laplace

Descrivere il comportamento di un sistema nel dominio del tempo non è affatto banale. Le relazioni tra l’ingresso e l’uscita dei componenti sono infatti regolate da operazioni matematiche “scomode” come integrali, derivate ed equazioni differenziali.

Affrontare l’analisi di un sistema in questo modo (approccio analitico) richiederebbe calcoli estremamente lunghi e complessi, rendendo difficile una visione d’insieme. Per questo motivo non si procede quasi mai per via analitica, ma ci si dota di uno strumento matematico capace di semplificare drasticamente il lavoro: la Trasformata di Laplace.

Come applicare la trasformata di Laplace #

Grazie a Laplace, possiamo trasformare le difficili equazioni differenziali in semplici operazioni algebriche (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Questo ci permette di ricavare la Funzione di Trasferimento (f.d.t.), ovvero quel modello matematico che lega gli ingressi x(t) alle uscite y(t) in modo immediato e intuitivo.

Di seguito la trasformata di Laplace dei principali segnali in ingresso:

Di seguito la tabella dei principali teoremi:

Nota bene: È fondamentale ricordare che la Trasformata di Laplace è uno strumento intermedio che opera nel dominio complesso s. Tuttavia, poiché viviamo nel mondo reale (dominio del tempo), una volta terminati i calcoli algebrici abbiamo due strade principali per interpretare i risultati:

Analisi nel Dominio del Tempo t se vogliamo sapere esattamente come l’uscita varia secondo dopo secondo, dobbiamo applicare l’Antitrasformata di Laplace. Serve per capire quanto è veloce, quanto oscilla e se è stabile il sistema. In altre parole, come reagisce il sistema dopo un certo ingresso.

Analisi in Frequenza f si considera un caso particolare del dominio s, ponendo s=jω. Serve per capire quanto il sistema amplifica o attenua certe frequenze e se può diventare instabile. In altre parole, come il sistema si comporta al variare della frequenza del segnale.

La trasformata di Laplace in ambito elettrico #

in campo elettrico la trasformata di Laplace è molto importante perché ci permette di trasformare nel dominio di s i parametri principali di un circuito (resistenza, condensatori e induttori) permettendoci di ricavare in maniera semplice la funzione di trasferimento di semplici circuiti elettrici.

Di seguito le relazioni che ci permettono di portare nel dominio di s i principali parametri elettrici:

Prima di vedere qualche esempio pratico di come ricavare la funzione di trasferimento occorre definire matematicamente che cos’è una funzione di trasferimento.