2. Il sistema binario

Il sistema binario è il fondamento principale dei sistemi digitali. Questo sistema utilizza solo due cifre, 0 e 1, ed è basato sulla base 2. Le cifre che compongono un numero binario sono chiamate bit (abbreviazione di Binary digIT), e ciascuno di essi viene moltiplicato da una potenza della base 2.

Riprendendo la rappresentazione generica, un numero con il sistema binario viene rappresentato come:

Conversione da binario a decimale #

Vediamo a che numero decimale corrisponde il numero binario 011₂.

Rappresentazione binaria #

Partendo dalla numero decimale 0, con N bit possiamo rappresentare 2^N-1 numeri decimali più il numero 0. Quindi:

• N = 1 2¹-1 = 1 con 1 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 1
• N = 2 2²-1 = 3 con 2 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 3
• N = 3 2³-1 = 7 con 3 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 7
• N = 4 2⁴-1 = 15 con 4 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 15
• N = 5 2⁵-1 = 31 con 5 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 31
• N = 6 2⁶-1 = 63 con 6 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 53
• N = 7 2⁷-1 = 127 con 7 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 127
• N = 8 2⁸-1 = 255 con 8 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 255
• N = 9 2⁹-1 = 511 con 9 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 511
• N = 10 2¹⁰-1 = 1023 con 10 bit rappresentiamo tutti i numeri da 0 a 1023

Sapendo il numero di bit che si vuole utilizzare si può creare una tabella che rappresenta i numeri decimali trasformati in binario.

Esempio con 4 bit:

Per creare questa tabella, non è necessario eseguire la conversione di ogni numero uno per uno; esiste un trucco che semplifica il processo. Partendo dall’LSB (A), si può osservare che i numeri binari si ripetono in gruppi verticali:

• il bit A si ripete in gruppi verticali di 01 per 8 volte
• il bit B si ripete in gruppi verticali di 0011 per 4 volte
• il bit C si ripete in gruppi verticali di 00001111 per 2 volte
• il bit D si ripete in gruppi verticali di 0000000011111111 per 1 volta

Per rappresentare altre tabelle di conversione, si inizia sempre dall’LSB (Least Significant Bit), che presenta il gruppo 01 ripetuto per N/2 volte, dove N è pari a 2ⁿ (il numero totale di valori rappresentabili, incluso lo 0). Nei gruppi successivi, il numero di bit raggruppati raddoppia, mentre il numero di ripetizioni di ciascun gruppo si dimezza.