In corrente alternata, i segnali sono rappresentati da funzioni sinusoidali. Inoltre, le relazioni tra tensione (v) e corrente (i) in componenti come condensatori e induttanze sono descritte da equazioni differenziali e integrali:
Relazione tra corrente e tensione di condensatori e induttanze
Queste formule richiedono operazioni matematiche complesse, che possono essere laboriose e richiedere molto tempo per essere risolte. È necessario trovare una soluzione che permetta di ridurre queste operazioni a semplici calcoli algebrici polinomiali, come somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.
Come semplificare i calcoli #
La soluzione per trasformare queste operazioni matematiche complesse in somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni è utilizzare i numeri complessi (o immaginari):
Differenza tra dominio del tempo e dominio dei numeri complessi
I numeri complessi sono i numeri immaginari e, come dice il nome, hanno un’unità immaginaria i che corrisponde alla radice quadrata di -1 (impossibile dal punto di vista matematico)
Per non confondere l’unità immaginaria i con la corrente i, in Elettrotecnica ed Elettronica l’unità immaginaria si indica con la lettera j
Per semplificare i calcoli tutti i segnali sinusoidali vengono trasformati in vettori complessi che hanno una parte reale a ed una parte immaginaria jb. Es: V = a + jb = 3 + j5 [V]
Nota Bene: il passaggio al dominio dei numeri complessi ci semplifica i calcoli, ma i risultati devono essere sempre espressi nel dominio del tempo t.
Com’è fatto un vettore complesso? #
Notazione complessa vettore V
Un vettore complesso V si esprime con la seguente formula matematica:
Formula matematica notazione complessa vettore V
Sul piano cartesiano l’asse x corrisponde all’asse reale, mentre l’asse y a quello immaginario.
Conversione dalla rappresentazione sinusoidale alla notazione complessa (dal dominio t a dominio j) #
Una qualsiasi funzione sinusoidale x(t) si può trasformare in un vettore complesso grazie a queste relazioni:
Conversione dalla rappresentazione sinusoidale alla notazione complessa (dal dominio t a dominio j)
Nota Bene: le funzioni sinusoidali si indicano con le lettere minuscole. Le funzioni complesse si indicano con le lettere maiuscole ed il simbolo del vettore.
Conversione dalla notazione complessa alla rappresentazione sinusoidale (dal dominio j a dominio t) #
Un qualsiasi vettore complesso si può trasformare in una funzione sinusoidale grazie a queste relazioni:
Conversione dalla notazione complessa alla rappresentazione sinusoidale (dal dominio j a dominio t)